2.- Geometría

GEOMETRÍA

¿POR QUÉ ES IMPORTANTE EL CONOCIMIENTO SOBRE LA GEOMETRÍA?

La principal finalidad de la geometría en la enseñanza en los jóvenes es conectar a los jóvenes con el mundo en el que se mueven, pues el conocimiento, la intuición y las relaciones geométricas resultan ser útiles en el desarrollo de la vida cotidiana.

Considerar que la geometría, además de estar presente en múltiples facetas de la vida actual tiene una gran influencia   en el desarrollo de la educación, sobre todo en las capacidades relacionadas con la comunicación y la relación con el entorno. La geometría favorece y desarrolla en los alumnos una serie de capacidades como la percepción visual, la expresión verbal, el razonamiento lógico y la aplicación a problemas concretos de otras áreas de matemáticas o de otras materias.

DEFINICIÓN DE GEOMETRÍA

La geometría es una parte de las matemáticas que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de una figura en un plano o en un espacio  para representar distintos aspectos de la realidad. La geometría apela a los denominados sistemas formales o axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas, curvas y puntos, etc.

HISTORIA DE LA GEOMETRÍA

Es razonable pensar que los primeros orígenes de la Geometría se encuentran en los mismos orígenes de la humanidad, pues seguramente el hombre primitivo clasificaba aun de manera inconsciente los objetos que le rodeaban según su forma. En la abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento informal e intuitivo a la Geometría.

La Geometría Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones egipcias y mesopotámicas, y da un paso de abstracción al considerar los objetos como entes ideales un cuadrado cualquiera, en lugar de una pared cuadrada concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de la regla y el compás. Aparece por primera vez la demostración como justificación de la veracidad de un conocimiento, aunque en un primer momento fueran más justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales.

DESPUES DE EUCLIDES

Euclides casi cierra definitivamente la Geometría griega - y por extensión la del mundo antiguo y medieval-, a excepción de la figura de Arquímedes, que estudió ampliamente las secciones cónicas, introduciendo en la Geometría las primeras curvas que no eran ni rectas ni circunferencias.

LOS TRES PROBLEMAS DE LA ANTIGUEDAD

La Geometría griega es incapaz de resolver tres famosos problemas que heredarán los matemáticos posteriores. Es importante observar que los tres problemas deben ser resueltos utilizando únicamente la regla y el compás, únicos instrumentos (además del papel y el lápiz, por supuesto) válidos en la Geometría de Euclides. Además de los tres problemas, la disputa de si el V postulado era o no un teorema (de si se podía o no deducir de los otros cuatro) también se considera uno de los problemas clásicos de la Geometría griega. Estos tres problemas son los siguientes

* La duplicación en el cubo

* La trisección del ángulo

* La cuadratura del círculo

EDAD MEDIA

Durante los siguientes siglos la Matemática comienza nuevos caminos - Álgebra y Trigonometría - de la mano de indios y árabes, y la Geometría apenas tiene nuevas aportaciones, excepto algunos teoremas de carácter más bien anecdótico. En Occidente, a pesar de que la Geometría es una de las siete Artes Liberales (encuadrada concretamente en el Quadrivium), las escuelas y universidades se limitan a enseñar ""Los Elementos"", y no hay aportaciones, excepto tal vez en la investigación sobre la disputa del V postulado. Si bien no se llegó a dilucidar en este periodo si era o no independiente de los otros cuatro, sí se llegaron a dar nuevas formulaciones equivalentes de este postulado.

EDAD MODERNA

Es en el Renacimiento cuando las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos instrumentos que les permitan representar la realidad. Aquí se enmarca la figura del matemático y arquitecto Lucca Pacioli, de Leonardo da Vinci o de Alberto Duero, por citar sólo algunos. Todos ellos, al descubrir la perspectiva crean la necesidad de sentar las bases formales en la que se asiente la nueva forma de Geometría que esta implica: la Geometría Proyectiva, cuyos principios fundamentales no aparecerán hasta el siglo XIX de la mano de Gaspard Monge en primer lugar y sobretodo de Poncelet.

TIPOS DE GEOMETRIA

La geometría es una disciplina muy amplia dentro de las matemáticas, que se divide según lo que cada especialidad o tipo de geometría estudia.

A pesar de que existen unos 49 tipos de geometría, estos son los principales tipos de geometría:

- Geometría euclidiana: Geometría que se basa en el supuesto de Euclides según el cual por un punto dado sólo se puede trazar una recta paralela a una recta dada.

- Geometría plana: Rama de la geometría que estudia las figuras planas.

- Geometría espacial: Se ocupa de las propiedades y medida de la extensión de las formas que se pueden expresar con medidas y de las relaciones entre puntos, líneas, ángulos, planos y sólidos en el espacio para definir sus condiciones mediante unas propiedades determinadas del espacio.

- Geometría no euclidiana: Si asumimos que no existen líneas paralelas, tenemos una geometría no Euclidiana llamada geometría elíptica.

- Geometría riemanniana: Rama de la geometría basada en axiomas diferentes de los utilizados por Euclides en sus Elementos de geometría.

- Geometría analítica: Es el estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

- Geometría diferencial: Estudia de la geometría usando las herramientas del análisis matemático.

- Geometría analítica: Elipse

- Geometría analítica: Elipse.

- Geometría proyectiva: Es una rama de la geometría que estudia los objetos lineales (puntos, líneas, planos, hiperplanos, etcétera) y cómo se intersectan.

- Geometría descriptiva: Estudia las formas tridimensionales en un plano bidimensional.

- Geometría de incidencia: Es aquella estructura que carece de axiomas de congruencia. Entre otras cosas, la falta de estos axiomas nos impedirá comparar segmentos y establecer una métrica.

- Geometría de dimensiones bajas: Estudia problemas geométricos, que surgen en el estudio de variedades de dimensiones menores que 5, espacios localmente homeomorfos a los espacios euclídeos, desde dimensión cero hasta la cuarta.

AXIOMAS, DEFINICIONES Y TEOREMAS

Un teorema descubierto y probado por Arquímedes: una esfera tiene 2/3 del volumen de su cilindro circunscrito.

La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático lo establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo. Como en todo sistema formal, las definiciones, no sólo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos.

Esto significa que las palabras "punto", "recta" y "plano" deben perder todo significado material. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente idénticas al del modelo tradicional.

AXIOMAS

La geometría esférica es un ejemplo de geometría no euclidiana.

En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan conceptos, definidos en función del punto, la recta y el plano. Euclides planteó cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelismo) el que siglos después –cuando muchos geómetras lo cuestionaron al analizarlo– originará nuevas geometrías: la elíptica (geometría de Riemann) o la hiperbólica de Nikolái Lobachevski.

En geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos. f(x) puede definir cualquier función, llámese recta, circunferencia, plano, etc.

TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA

El campo de la topología, que tuvo un gran desarrollo en el siglo XX, es en sentido técnico un tipo de geometría transformacional, en que las transformaciones que preservan las propiedades de las figuras son los homeomorfismos (por ejemplo, esto difiere de la geometría métrica, en que las transformaciones que no alteran las propiedades de las figuras son las isometrías). Esto ha sido frecuentemente expreso en la forma del dicho "la topología es la geometría de la página de goma".

CONCLUSIÓN

Elegimos este tema porque más que nada el tema ha repercutido en nuestra vida desde hace mucho tiempo, y sin percatarnos lo usamos diariamente (directa o indirectamente) usamos nuestros sentidos para resolver nuestros problemas con respecto a la materia.

De este tema nos interesó más que nada el saber del porque la necesidad del ser humano por realizar cálculos matemáticos con el ámbito geométrico y los diferentes puntos de vista de todos y cada uno de los filósofos matemáticos especializados en el tema; las  diferentes interrogantes sin resolver y sus posibles respuestas, así como la influencia que tiene hoy en día.

Gracias a la realización de este trabajo pudimos comprender un poco mejor lo que es la geometría Euclidiana; las repercusiones que ésta tuvo en pensamiento del mundo antiguo. Además de conocer las diferencias que existen entre los distintos tipos de geometría, y de los pensadores responsables de sus fundaciones, es muy interesante reconocer y estudiar estas diferencias, ya que nos muestran las diversas formas de pensamiento de la mente humana. El estudio formal de la geometría euclidiana y de las demás geometrías nos permite organizarlas de forma tal que podemos conocer y entender sus estructuras conceptuales, facilitando así su estudio futuro.

INTEGRANTES:

-       Chiquil Gamboa Luis Alberto

-       Tuz Cetina Christopher Concepción

-       Benítez Hernández Cinthya Mariana

-       Interian Montalvo Leisly Marisol

-       Grajales Pacheco Manuel Omar

-       Olmos Zapata Rafael Antonio

-       Medina Moctezuma Oziel

-       Rojas Teyer Humberto David

Ficha Técnica

• Benítez Hernández Cinthya Mariana: Recopilación de información esencial sobre el concepto de geometría, tipos de geometría y su historia; Organización de sintaxis basado en la información de los miembros del equipo que la aportaron.
• Interian Montalvo Leisly Marisol: Resumió las ideas principales sobre el porqué de la importancia de saber acerca de ella, además de la historia de la geometría, también redacto los tipos de geometría que existen, explicando cada una.
• Tuz Cetina Christopher Concepción: Resumió la historia de la geometría, también redacto los tipos de geometría que existen, explicando cada una.
• Chiquil Gamboa Luis Alberto: Con sus conocimientos previos resumió brevemente las ideas sobre cómo influye en nosotros el aprender sobre la geometría.

Bibliografía

Arkiplus. (s.f.). Obtenido de http://www.arkiplus.com/tipos-de-geometria

CulturaGeneral.net. (2012). Obtenido de www.culturageneral.net/matematicas/historia_geometria.htm

Wikipedia. (s.f.). Wikipedia. Obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa